[BZOJ 2038][国家集训队2009]小Z的袜子【莫队】

  • 2018-01-28
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Problem:

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MB

Description

作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
具体来说,小Z把这N只袜子从1N编号,然后从编号LR (L≤R) 询问。 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。

Output

包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15

【样例解释】
询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000;
60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。

HINT

Source

版权所有者:莫涛

Solution:

这道题似乎就是当年莫队长发明莫队的时候出的题。。

莫队算法很好理解,就是用分块思想对暴力的顺序进行优化。

我们发现,已知 [l, r] 答案的前提下,可以 O(1) 求出 [l, r+1], [l, r-1], [l+1, r], [l-1, r] 的答案。

暴力算法只要控制 l, r 两个指针左右乱移就可以了。。时间复杂度是 O(n2的。

我们将整个序列分块,每块 ⌊√n⌋ 个元素,则至多有 ⌈√n⌉ 块。(根号有点难看。。)

离线处理,将询问按左端点所在块编号为第一关键字,右端点自身编号为第二关键字排序。

然后按这个顺序暴力就可以了。。真的就可以了。。时间复杂度只有 O(n1.5)

【复杂度证明】

  • Part 1:在相同块中转移,由于 r 单调递增,r 的转移是 O(n) 的,共有 n0.5 块,总复杂度为 O(n1.5)
  • Part 2:在不同块中转移,有 n0.5 块,每次 r 至多改变 n,总复杂度为 O(n1.5)
  • Part 3:在相同块中 l 的变化不超过 n0.5,在不同块中则不超过 2*n0.5,m 次转移总复杂度为 O(mn0.5)

综上所述,莫队算法的时间复杂度为 O(n1.5+mn0.5),当 n 和 m 接近时可视作 O(n1.5)

代码并不难写 ^O^

Code: O(N1.5+MN0.5+MlogM) [3256K, 868MS]

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define sqr(x) ((x) * (x))
using namespace std;
typedef long long ll;

inline void getint(int &num){
	char ch;
	while(!isdigit(ch = getchar()));
	num = ch - '0';
	while(isdigit(ch = getchar())) num = (num << 1) + (num << 3) + ch - '0';
}

inline ll gcd(ll a, ll b) {return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);}

int N, M, C[50005];
int bl[50005], S[50005];
ll sqrsum;

struct Query{
	int id, L, R;
	ll A, B;
	
	inline bool operator < (const Query &q2) const {return id < q2.id;}
} q[50005];

inline bool cmp(const Query &q1, const Query &q2){
	if(bl[q1.L] == bl[q2.L]) return q1.R < q2.R;
	return q1.L < q2.L;
}

inline void update(int pos, int val){
	sqrsum -= sqr(S[C[pos]]);
	S[C[pos]] += val;
	sqrsum += sqr(S[C[pos]]);
}

inline void Mo(){
	sort(q + 1, q + M + 1, cmp);
	sqrsum = 0;
	for(register int i = 1, l = 1, r = 0; i <= M; i++){
		while(r < q[i].R) update(++r, 1);
		while(r > q[i].R) update(r--, -1);
		while(l < q[i].L) update(l++, -1);
		while(l > q[i].L) update(--l, 1);
		q[i].A = sqrsum - (q[i].R - q[i].L + 1);
		q[i].B = (ll)(q[i].R - q[i].L + 1) * (q[i].R - q[i].L);  // Beware of overflowing
		if(!q[i].A) q[i].B = 1;
		else{
			ll k = gcd(q[i].A, q[i].B);
			q[i].A /= k, q[i].B /= k;
		}
	}
	sort(q + 1, q + M + 1);
}

int main(){
	getint(N), getint(M);
	int blocksize = int(sqrt(N));
	for(register int i = 1; i <= N; i++) bl[i] = (i - 1) / blocksize + 1;
	for(register int i = 1; i <= N; i++) getint(C[i]);
	for(register int i = 1; i <= M; i++) getint(q[i].L), getint(q[i].R), q[i].id = i;
	Mo();
	for(register int i = 1; i <= M; i++) printf("%lld/%lld\n", q[i].A, q[i].B);
	return 0;
}

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OPEN AT 2017.12.10

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