【转载】全网最!详!细!tarjan算法讲解

  • 2018-01-08
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转自: http://www.cnblogs.com/uncle-lu/p/5876729.html

原作者: 刺猬的玻璃心碎了


【Willem 改正了一些奥妙重重的小错误 ^_^ 如果还有问题欢迎大家指出。。】

全网最详细tarjan算法讲解,我不敢说别的。反正其他tarjan算法讲解,我看了半天才看懂。我写的这个,读完一遍,发现原来tarjan这么简单!

tarjan算法,一个关于 图的联通性的神奇算法。基于DFS(迪法师)算法,深度优先搜索一张有向图。!注意!是有向图。根据树,堆栈,打标记等种种神(che)奇(dan)方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性,就是任督二脉通不通。。的问题。
了解tarjan算法之前你需要知道:
强连通,强连通图,强连通分量,解答树(解答树只是一种形式。了解即可)
不知道怎么办!!!

神奇海螺~:嘟噜噜~!
强连通(strongly connected): 在一个有向图G里,设两个点 a b 发现,由a有一条路可以走到b,由b又有一条路可以走到a,我们就叫这两个顶点(a,b)强连通。

强连通图: 如果 在一个有向图G中,每两个点都强连通,我们就叫这个图,强连通图。

强连通分量strongly connected components):在一个有向图G中,有一个子图,这个子图每2个点都满足强连通,我们就叫这个子图叫做 强连通分量 [分量::把一个向量分解成几个方向的向量的和,那些方向上的向量就叫做该向量(未分解前的向量)的分量]
举个简单的栗子:

比如说这个图,在这个图中呢,点1与点2互相都有路径到达对方,所以它们强连通.

而在这个有向图中,点1 2 3组成的这个子图,是整个有向图中的强连通分量。

解答树:就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树(图),其实也可以说是递归图。。反正都是一个作用,一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。“过程!”

神奇海螺结束!!!

 

tarjan算法,之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图,就是一个完整的搜索树。
为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。
1,DFN[]作为这个点搜索的次序编号(时间戳),简单来说就是 第几个被搜索到的。%每个点的时间戳都不一样%。
2,LOW[]作为每个点在这颗树中的,最小的子树的根,每次保证最小,like它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW[]最小,那这个点就应该从新分配,变成这个强连通分量子树的根节点。
ps:每次找到一个新点,这个点LOW[]=DFN[]。

而为了存储整个强连通分量,这里挑选的容器是,堆栈。每次一个新节点出现,就进站,如果这个点有 出度 就继续往下找。直到找到底,每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值,谁小就取谁,保证最小的子树根。如果找到DFN[]==LOW[]就说明这个节点是这个强连通分量的根节点(毕竟这个LOW[]值是这个强连通分量里最小的。)最后找到强连通分量的节点后,就将这个栈里,比此节点后进来的节点全部出栈,它们就组成一个全新的强连通分量。

先来一段伪代码压压惊:

tarjan(u){
  DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
  Stack.push(u)   // 将节点u压入栈中
  for each (u, v) in E // 枚举每一条边
    if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
        tarjan(v) // 继续向下找
        Low[u] = min(Low[u], Low[v])
    else if (v in S) // 如果节点u还在栈内
        Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
  if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
  repeat v = S.pop  // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
  print v
  until (u== v)
}

首先来一张有向图。网上到处都是这个图。我们就一点一点来模拟整个算法。

从1进入 DFN[1]=LOW[1]= ++index ----1
入栈 1

由1进入2 DFN[2]=LOW[2]= ++index ----2
入栈 1 2

之后由2进入3 DFN[3]=LOW[3]= ++index ----3
入栈 1 2 3

之后由3进入 6 DFN[6]=LOW[6]=++index ----4
入栈 1 2 3 6

之后发现 嗯? 6无出度,之后判断 DFN[6]==LOW[6]
说明6是个强连通分量的根节点:6及6以后的点 出栈。
出栈 1 2 3

之后退回 节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW[3]还是 3
节点3 也没有再能延伸的边了,判断 DFN[3]==LOW[3]
说明3是个强连通分量的根节点:3及3以后的点 出栈。
出栈 1 2

之后退回 节点2 嗯?!往下到节点5
DFN[5]=LOW[5]= ++index -----5
入栈 1 2 5

ps:你会发现在有向图旁边的那个丑的(划掉)搜索树 用红线剪掉的子树,那个就是强连通分量子树。每次找到一个。直接。一剪子下去。半个子树就没有了。。

结点5 往下找,发现节点6 DFN[6]有值,被访问过。就不管它。
继续 5往下找,找到了节点1 他爸爸的爸爸。。DFN[1]被访问过并且还在栈中,说明1还在这个强连通分量中,值得发现。 Low[5] = min(Low[5], DFN[1])
确定关系,在这棵强连通分量树中,5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。so
LOW[5]= 1

由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])
LOW[2]=1;

由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2])
LOW[1]还是 1

1还有边没有走过。发现节点4,访问节点4
DFN[4]=LOW[4]=++index ----6
入栈 1 2 5 4

由节点4,走到5,发现5被访问过了,5还在栈里,
Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW[4]=5
说明4是5的一个子节点。

由4回到1.
回到1,判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])
LOW[1]还是 1 。
判断 LOW[1] == DFN[1]
诶?!相等了    说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。
将栈中1以及1之后进栈的所有点,都出栈。
栈:(鬼都没有了)

这个时候就完了吗?!

你以为就完了吗?!

然而并没有完,万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢?!

所以。tarjan的调用最好在循环里解决。

like    如果这个点没有被访问过,那么就从这个点开始tarjan一遍。

因为这样好让每个点都被访问到。

来一道裸代码。
输入:
一个图有向图。
输出:
它每个强连通分量。

这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。

input:

6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6

output:

6
5
3 4 2 1

【注意了,这里需要修改一下~~】

真正与刚才讲的图一模一样的是这样的:

input:

6 8
2 3
1 2
1 4
3 6
2 5
4 5
5 1
5 6

output:

6
3
2 5 4 1

【大功告成。】

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<string.h>
 4 using namespace std;
 5 struct node {
 6     int v,next;
 7 }edge[1001];
 8 int DFN[1001],LOW[1001];
 9 int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index;
10 void add(int x,int y)
11 {
12     edge[++cnt].next=heads[x];
13     edge[cnt].v = y;
14     heads[x]=cnt;
15     return ;    
16 }
17 void tarjan(int x)//代表第几个点在处理。递归的是点。
18 {
19     DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。
20     stack[++index]=x;//进站
21     visit[x]=1;//表示在栈里
22     for(int i=heads[x];i!=-1;i=edge[i].next)
23     {
24         if(!DFN[edge[i].v]) {//如果没访问过
25             tarjan(edge[i].v);//往下进行延伸,开始递归
26             LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来,比较谁是谁的儿子/父亲,就是树的对应关系,涉及到强连通分量子树最小根的事情。
27         }
28         else if(visit[edge[i].v ]){  //如果访问过,并且还在栈里。
29             LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子/父亲。就是链接对应关系
30         }
31     }
32     if(LOW[x]==DFN[x]) //发现是整个强连通分量子树里的最小根。
33     {
34         do{
35             printf("%d ",stack[index]);
36             visit[stack[index]]=0;
37             index--;
38         }while(x!=stack[index+1]);//出栈,并且输出。
39         printf("\n");
40     }
41     return ;
42 }
43 int main()
44 {
45     memset(heads,-1,sizeof(heads));
46     int n,m;
47     scanf("%d%d",&n,&m);
48     int x,y;
49     for(int i=1;i<=m;i++)
50     {
51         scanf("%d%d",&x,&y);
52         add(x,y);
53     }
54     for(int i=1;i<=n;i++)
55          if(!DFN[i])  tarjan(1);//当这个点没有访问过,就从此点开始。防止图没走完
56     return 0;
57 }

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