[洛谷春令营 D7T4] 天路【二分答案+SPFA判正权环】

• 2018-02-21
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Problem:

题目描述

“那是一条神奇的天路诶~，把第一个神犇送上天堂~”，XDM先生唱着这首“亲切”的歌曲，一道猥琐题目的灵感在脑中出现了。

和C_SUNSHINE大神商量后，这道猥琐的题目终于出现在本次试题上了，旨在难到一帮大脑不够灵活的OIer们（JOHNKRAM真的不是说你……）。

言归正传，小X的梦中，他在西藏开了一家大型旅游公司，现在，他要为西藏的各个景点设计一组铁路线。但是，小X发现，来旅游的游客都很挑剔，他们乘火车在各个景点间游览，景点的趣味当然是不用说啦，关键是路上。试想，若是乘火车一圈转悠，却发现回到了游玩过的某个景点，花了一大堆钱却在路上看不到好的风景，那是有多么的恼火啊。

所以，小X为所有的路径定义了两个值，Vi和Pi，分别表示火车线路的风景趣味度和乘坐一次的价格。现在小X想知道，乘客从任意一个景点开始坐火车走过的一条回路上所有的V之和与P之和的比值的最大值。以便为顾客们推荐一条环绕旅游路线（路线不一定包含所有的景点，但是不可以存在重复的火车路线）。

于是，小X梦醒之后找到了你……

输入输出格式

输入格式：

第一行两个正整数N，M，表示有N个景点，M条火车路线，火车路线是单向的。

以下M行，每行4个正整数，分别表示一条路线的起点，终点，V值和P值。

注意，两个顶点间可能有多条轨道，但一次只能走其中的一条。

输出格式：

一个实数，表示一条回路上最大的比值，保留1位小数。

若没有回路，输出-1。

输入输出样例

5 6
1 2 1 1
4 1 6 2
5 4 8 1
2 3 2 2
5 2 4 1
3 5 6 4

2.3

说明

对于30%的数据，1≤N≤100,1≤M≤20;

对于60%的数据，1≤N≤3,000,1≤M≤2,000;

对于100%的数据，1≤N≤7,000,1≤M≤20,000,1≤Vi,Pi≤1,000.

保证答案在200以内.

Solution:

这是一道最大化比例问题的经典模型，考虑将 2 个变量削减成 1 个。

我们设比值最大为 ans，则对于所有回路有

• ⇒ ∑ V_i / ∑ P_i ≤ ans
• ⇒ ∑ V_i ≤ ans * ∑ P_i
• ⇒ ∑ V_i - ans * ∑ P_i ≤ 0
• ⇒ ∑ (V_i  - ans *  P_i) ≤ 0

由于本题 ans 的范围在 (0, 200] 之间，我们可以二分 ans，以 V_i  - ans *  P_i 作为边权建图。

然后跑一遍 DFS-SPFA 来判断图中是否有正权环，如果有则 ans 不够紧确，否则太大。

温馨提示：答案是 double 型的，所以边权也要用 double 来存。

Code: O(能过) [2605K, 8MS]

/*
	∑V[i] / ∑P[i] <= ans
=>	∑V[i] <= ans * ∑P[i]
=>	∑(V[i] - ans * P[i]) <= 0
*/
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define eps 1e-3
using namespace std;

inline void getint(int &num){
	char ch;
	while(!isdigit(ch = getchar()));
	num = ch - '0';
	while(isdigit(ch = getchar())) num = num * 10 + ch - '0';
}

int N, M;
int S[20005], T[20005], V[20005], P[20005];

struct Edge{
	int np;
	double val;
	Edge *nxt;
};

struct Graph{
	Edge E[20005], *V[7005];
	int tope;
	
	inline void clear() {tope = 0, memset(V, 0, sizeof(V));}
	
	inline void addedge(int u, int v, double w){
		E[++tope].np = v, E[tope].val = w;
		E[tope].nxt = V[u], V[u] = &E[tope];
	}
} G;

double dis[7005];
bool inpath[7005];

inline bool dfs_spfa(int u){
	inpath[u] = 1;
	for(register Edge *ne = G.V[u]; ne; ne = ne->nxt)
		if(dis[u] + ne->val > dis[ne->np]){
			dis[ne->np] = dis[u] + ne->val;
			if(inpath[ne->np]) return 1;
			if(dfs_spfa(ne->np)) return 1;
		}
	return inpath[u] = 0, 0;
}

inline bool check(double k){
	G.clear();
	for(register int i = 1; i <= M; i++)
		G.addedge(S[i], T[i], V[i] - k * P[i]);
	memset(dis, 0, sizeof(dis));
	memset(inpath, 0, sizeof(inpath));
	for(register int i = 1; i <= N; i++)
		if(dfs_spfa(i)) return 1;
	return 0;
}

int main(){
	getint(N), getint(M);
	for(register int i = 1; i <= M; i++)
		getint(S[i]), getint(T[i]), getint(V[i]), getint(P[i]);
	double l = 0.0, r = 200.0;
	while(l + eps < r){
		double mid = (l + r) / 2;
		if(check(mid)) l = mid;
		else r = mid;
	}
	if(l < eps) puts("-1");
	else printf("%.1f\n", l);
	return 0;
}