[洛谷春令营 D7T4] 天路【二分答案+SPFA判正权环】
Problem:
题目描述
“那是一条神奇的天路诶~,把第一个神犇送上天堂~”,XDM先生唱着这首“亲切”的歌曲,一道猥琐题目的灵感在脑中出现了。
和C_SUNSHINE大神商量后,这道猥琐的题目终于出现在本次试题上了,旨在难到一帮大脑不够灵活的OIer们(JOHNKRAM真的不是说你……)。
言归正传,小X的梦中,他在西藏开了一家大型旅游公司,现在,他要为西藏的各个景点设计一组铁路线。但是,小X发现,来旅游的游客都很挑剔,他们乘火车在各个景点间游览,景点的趣味当然是不用说啦,关键是路上。试想,若是乘火车一圈转悠,却发现回到了游玩过的某个景点,花了一大堆钱却在路上看不到好的风景,那是有多么的恼火啊。
所以,小X为所有的路径定义了两个值,Vi和Pi,分别表示火车线路的风景趣味度和乘坐一次的价格。现在小X想知道,乘客从任意一个景点开始坐火车走过的一条回路上所有的V之和与P之和的比值的最大值。以便为顾客们推荐一条环绕旅游路线(路线不一定包含所有的景点,但是不可以存在重复的火车路线)。
于是,小X梦醒之后找到了你……
输入输出格式
输入格式:
第一行两个正整数N,M,表示有N个景点,M条火车路线,火车路线是单向的。
以下M行,每行4个正整数,分别表示一条路线的起点,终点,V值和P值。
注意,两个顶点间可能有多条轨道,但一次只能走其中的一条。
输出格式:
一个实数,表示一条回路上最大的比值,保留1位小数。
若没有回路,输出-1。
输入输出样例
输入样例#1:
5 6 1 2 1 1 4 1 6 2 5 4 8 1 2 3 2 2 5 2 4 1 3 5 6 4
输出样例#1:
2.3
说明
对于30%的数据,1≤N≤100,1≤M≤20;
对于60%的数据,1≤N≤3,000,1≤M≤2,000;
对于100%的数据,1≤N≤7,000,1≤M≤20,000,1≤Vi,Pi≤1,000.
保证答案在200以内.
Solution:
这是一道最大化比例问题的经典模型,考虑将 2 个变量削减成 1 个。
我们设比值最大为 ans,则对于所有回路有
- ⇒ ∑ Vi / ∑ Pi ≤ ans
- ⇒ ∑ Vi ≤ ans * ∑ Pi
- ⇒ ∑ Vi - ans * ∑ Pi ≤ 0
- ⇒ ∑ (Vi - ans * Pi) ≤ 0
由于本题 ans 的范围在 (0, 200] 之间,我们可以二分 ans,以 Vi - ans * Pi 作为边权建图。
然后跑一遍 DFS-SPFA 来判断图中是否有正权环,如果有则 ans 不够紧确,否则太大。
温馨提示:答案是 double 型的,所以边权也要用 double 来存。
Code: O(能过) [2605K, 8MS]
/* ∑V[i] / ∑P[i] <= ans => ∑V[i] <= ans * ∑P[i] => ∑(V[i] - ans * P[i]) <= 0 */ #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<iostream> #include<algorithm> #define eps 1e-3 using namespace std; inline void getint(int &num){ char ch; while(!isdigit(ch = getchar())); num = ch - '0'; while(isdigit(ch = getchar())) num = num * 10 + ch - '0'; } int N, M; int S[20005], T[20005], V[20005], P[20005]; struct Edge{ int np; double val; Edge *nxt; }; struct Graph{ Edge E[20005], *V[7005]; int tope; inline void clear() {tope = 0, memset(V, 0, sizeof(V));} inline void addedge(int u, int v, double w){ E[++tope].np = v, E[tope].val = w; E[tope].nxt = V[u], V[u] = &E[tope]; } } G; double dis[7005]; bool inpath[7005]; inline bool dfs_spfa(int u){ inpath[u] = 1; for(register Edge *ne = G.V[u]; ne; ne = ne->nxt) if(dis[u] + ne->val > dis[ne->np]){ dis[ne->np] = dis[u] + ne->val; if(inpath[ne->np]) return 1; if(dfs_spfa(ne->np)) return 1; } return inpath[u] = 0, 0; } inline bool check(double k){ G.clear(); for(register int i = 1; i <= M; i++) G.addedge(S[i], T[i], V[i] - k * P[i]); memset(dis, 0, sizeof(dis)); memset(inpath, 0, sizeof(inpath)); for(register int i = 1; i <= N; i++) if(dfs_spfa(i)) return 1; return 0; } int main(){ getint(N), getint(M); for(register int i = 1; i <= M; i++) getint(S[i]), getint(T[i]), getint(V[i]), getint(P[i]); double l = 0.0, r = 200.0; while(l + eps < r){ double mid = (l + r) / 2; if(check(mid)) l = mid; else r = mid; } if(l < eps) puts("-1"); else printf("%.1f\n", l); return 0; }
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